まず、 思い出してください。 １つの斜交直線座標系での、 量場的テンソルの表示方法の比較は、 次の変換式に従います。

混合テンソル表示 から 共変テンソル表示 への変換式 ：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＊　反変ベクトル表示から共変ベクトルへの表示変換式 ：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

混合テンソル表示 から 反変テンソル表示 への変換式 ：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　＊　共変ベクトル表示から反変ベクトル表示への変換式 ：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 次に、 思い出してください。 ２つの斜交直線座標系での、 量場的テンソルの各表示方法の比較は、 次の変換式に従います。

　量場的テンソルの混合テンソル表示の座標変換式 ：

　量場的テンソルの共変テンソル表示の座標変換式 ：

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＊　共変ベクトル表示の座標変換式 ：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　量場的テンソルの反変テンソル表示の座標変換式 ：

　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＊　反変ベクトル表示の座標変換式 ：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 これから、 ２つの曲線座標系での量場的テンソルの座標変換について考えましょう。 あるテンソルがそれぞれの曲線座標系でどのように表示されるのかを １対１対応させたものが、 テンソルの座標変換です。 曲線座標系といっても、 それは局所的斜交直線座標系ですから、 一般的な２つの斜交直線座標系でのテンソルの座標変換と同様です。

基底 が生成するベクトル空間の中に、 次のような 「 混合テンソル表示 」 をされる 「 量場的テンソル 」 が存在します。

　この量場的テンソルの共変テンソル表示 ：

　　　　　より、

　この量場的テンソルの反変テンソル表示 ：

　　　より、

　 次に、 この量場的テンソルが、 曲線座標系における次の基底の変換によって、 どのように座標変換されるか見てみましょう。

　量場的テンソルの混合テンソル表示の座標変換式 ：

　　　　より、

　量場的テンソルの共変テンソル表示の座標変換式 ：

　　　　より、

　量場的テンソルの反変テンソル表示の座標変換式 ：

　　　　より、