�W． 直交座標系から斜交座標系への 位置ベクトルの座標変換

　 直交座標系から斜交座標系への位置ベクトルの座標変換の簡単な例は、 「 ２次元で、 x 座標軸が y 座標軸に向かって反時計回りに 角度 回転し、 標準基底の大きさが不変の変換 」 です。
　 今から、 この例について見ていきます。 直交座標系の標準基底を とし 、変換後の斜交座標系の標準基底を とします。 すると、 斜交座標系の標準基底は、 直交座標系の標準基底を用いて次のようなベクペアで表されます。
　　　　
　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　 このベクペアの表現行列と同じ表現行列を持つテンソルを とすると、 次の式が成り立ちますので、 は、 基底変換テンソル であることがわかります。
　　　　
　 これから、 直交座標系で次のように表される位置ベクトル が斜交座標系ではどのように表されるのか考えてみましょう。
　　　　
斜交座標系でのベクトル表示を次のように表します。
　　　　
すると、 次の式が成り立ちます。
　　　　
基底の要素について、 次のような式たちが成り立ちます。
　　　　
　　　　
これらの式から類推すると、 次の式が成り立っていることに気づきます。
　　　　
したがって、 次の式が成り立ちます。
　　　　
　 この式は、テンソル の表現行列の逆行列を表現行列とする座標変換テンソル を用いて次のように表すことができます。
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　 したがって、 同一のベクトルの直交座標系での表示から斜交座標系での表示へと変換するための座標変換テンソルは、 「 基底変換テンソル の表現行列の逆行列を表現行列とするテンソル 」 であることがわかります。 これは、 同一ベクトルの、 ある斜交座標系での表示から別の斜交座標系での表示への変換と、 原則的に同じです。