位置ベクトルの座標変換
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2010.09.09
（ ベクトルの座標変換 や テンソル を学ぶための基礎知識 ）
目 次
Ⅰ． 新しいベクトルの表記法 と ２階のテンソルの分類法 の提唱
Ⅱ． 斜交座標系の 双対ベクトル空間の間での 位置ベクトルの座標変換
Ⅲ．「 ベクトルの座標変換 」と「 ベクトルの写像 」との違い
Ⅳ． 直交座標系から斜交座標系への 位置ベクトルの座標変換。
Ⅴ． 直交ベクトル空間から固有空間への 写像の座標変換
Ⅵ． ヤコビアン
この論文は、 次のことについて述べています。
共変ベクトル ・ 反変ベクトル とは何か
計量テンソル とは何か
固有ベクトル とは何か
ヤコビ行列 とは何か
座標変換とは何か
新しいベクトルの表記法 と ２階のテンソルの分類法 の提唱
Ⅰ． 新しいベクトルの表記法 と ２階のテンソルの分類法 の提唱
３次元直交座標系における「 計量テンソル 」の表現行列は次のように表わされます。
＊ ただし、 
の３つのベクトルは、 標準基底 の要素です。
標準基底 とは、 互いに一次独立な単位ベクトルの順序列のことで、
ベクトル空間を生成するものです。
３次元直交座標系における「 計量テンソル 」の表現行列は、 このように単位行列ですが、 ３次元斜交座標系における「 計量テンソル 」は、 単位行列ではありません。
計量テンソルについては後ほど述べることにして、 これから、 一般的な３次元斜交座標系について考えていきましょう。
３次元斜交座標系における、 一般的なベクトルの表現方法は 、以下のようなものですが、
または 
または 
または 
これからは、 ベクトルを次のように表記することにします。
また、 ベクトル
と ベクトル
の内積を次のように表します。
３つのベクトルの順序列を、「 ベクトリオ 」と言うことにし、 例えば、 ３つのベクトル 
の順序列を次のように表すことにします。
「 ３次元ベクトル空間において、 ベクトルとは、 同一のベクトルからなるベクトリオのことである。」と定義し、 例えば、 ベクトル を次のように表すことにします。
３つのスカラーの順序列を、 「 スカトリオ 」 と言うことにし、 例えば、 ３つのスカラー 
の順序列を、 次の行列で表すことにします。
「 ３次元ベクトル空間において、 スカラーとは、 同一のスカラーからなるスカトリオのことである。」 と定義し、 例えば、 スカラー 
を次の行列で表すことにします。
以上の新しい表現方法に含まれる行列を「 ベクトリオの表現行列 」とか「 スカトリオの表現行列 」とか言うことにします。
ベクトリオ 
に、 スカトリオ 
を乗法させる演算を、 次のように表します。
９つの成分からなる２階テンソルは、 線形変換を行う関数（ 演算子 ）です。 関数とは、 ある物を他の物に変換させる道具、 あるいは、 ある物に対応する写像を求める道具です。 これから、 テンソルを表す行列のことを、「 テンソルの表現行列 」と言うことにします。
ここで、 さらに、「 ２階のテンソルについては、 次のように分類しませんか？」と提案します。。
ベクトル化テンソル 
基底をベクトルに変換するテンソルである。
ターゲットは基底である。
表現行列の 同じ行の成分 は等しい。
次のようなべクトル があるとする。
次のような表現行列 
を持つ があるとする。
ベクトル は次のようにも表される。
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