ベクトルの座標変換式を思い出してください。 次に記載します。

共変ベクトル表示の座標変換式 ：

反変ベクトル表示の座標変換式 ：

共変ベクトルの座標変換式 と 量場的テンソルの共変テンソル表示の座標変換式 を比べてください。

これより、 次のような連想がじます。 反変ベクトルの座標変換式 と 量場的テンソルの反変テンソル表示の座標変換式 との比較についてです。

そこで、 量場的テンソルの反変テンソル表示を次のように表します。

これから、 次の命題が真であることを確かめてみましょう。

こうして、 確かめることができました。

ベクトル の大きさの２乗は、 次のようになります。

これは、 次のように１行で書くこともできます。

次の行列を表現行列とするテンソルを計量テンソル と言います。

この表現行列を、 次のように表します。

さて、 次のような基底の変換があるとします。

この場合、 基底の変換式は次のようになります、

したがって、 次の３つの式が成り立ちます。

次の変換後の座標系の計量テンソルの表現行列が、 変換前の計量テンソルの表現行列の要素を用いてどのように表されるのかを考えてみましょう。

まず、 要素 について見てみましょう。

同様にして、 変換後の座標系の計量行列の９個の要素は、 変換前の計量行列の要素を用いて、 次の１行で表されることがわかります。

これが計量テンソルの座標変換式です。

さて、 計量テンソルを双対ベクトル空間へのベクトルの座標変換を行う空間的テンソルであると見た場合は、 で表されますが、 本来の計量テンソルは、 量場的テンソルであり、 次のように表されます。

したがって、 正確な 「 計量テンソルの座標変換式 」 は、 次のようになります。

混合テンソル表示から共変テンソル表示の変換式 ：　

に代入すると、 次のようになります。

したがって、 次の式が成り立つことがわかります。

つまり、 計量テンソルの混合テンソル表示の表現行列は、 単位行列です。

混合テンソル表示から反変テンソル表示の変換式 ：　

に代入すると、 次のようになります。

したがって、 次の式が成り立っていることがわかります。

したがって、 最初に次のように定義しましたが、 これと矛盾のないことがわかりました。

双対テンソル の表現行列は、 計量テンソル の表現行列の逆行列ですから、 次の式が成り立ちます。
　　　　

以上より、 次のことを言うことができます。

　計量テンソルの混合テンソル表示（基本型）の表現行列は、単位行列である。

　計量テンソルの 共変テンソル表示の表現行列 と 反変テンソル表示の表現行列とは、 互いに逆行列の関係になっている。

　一般には、 計量テンソルに関しては、 共変テンソル表示が用いられている。 その表現行列は、 双対空間の間での反変ベクトル表示から共変ベクトル表示へと座標変換する座標変換テンソルの表現行列に等しい。

計量テンソルの表示方法をまとめると次のようになります。

混合テンソル表示の座標変換式 ： 　より、

以上のように、 矛盾していないことがわかります。

反変ベクトル表示から共変ベクトル表示への変換式 ：

混合テンソル表示から共変テンソル表示への変換式 ：

　　　一般的な量場的テンソル ：

　　　計量テンソル ：

以上から、 混合テンソル表示 から 共変テンソル表示 への変換は、反変ベクトル表示 から 共変ベクトル表示 への変換に似ていることがわかります。 というよりも、 そのように、 量場的テンソルの共変テンソル表示が定義されているのです。

共変ベクトル表示から反変ベクトル表示への変換式 ：

混合テンソル表示から反変テンソル表示への変換式 ：

　　　一般的な量場的テンソル ：

　　　計量テンソル ：

以上から、 混合テンソル表示 から 反変テンソル表示 への変換は、 共変ベクトル表示 から 反変ベクトル表示 への変換に似ていることがわかります。 というよりも、 そのように、 量場的テンソルの反変テンソル表示が定義されているのです。

反変ベクトル表示の座標変換式 ：

反変テンソル表示の座標変換式 ：

　　　一般的な量場的テンソル ：

　　　計量テンソル ：

以上から、 反変テンソル表示の座標変換式は、 反変ベクトル表示の座標変換式に似ていることがわかります。

共変ベクトル表示の座標変換式 ：

共変テンソル表示の座標変換式 ：

　　　一般的な量場的テンソル ：

　　　計量テンソル ：

以上から、 共変テンソル表示の座標変換式は、 共変ベクトル表示の座標変換式に似ていることがわかります。

混合テンソル表示の座標変換式 ：

　　　一般的な量場的テンソル ：

　　　計量テンソル ：