次のような、「 量場的肉付けテンソルの混合テンソル表示 」の表現行列と同じ表現行列を持つ演算テンソル があります。



単位ベクトルたちのベクトリオに演算テンソル を作用させると新しいベクトリオができます。



新しいベクトリオを構成するのは、 次の３つのベクトルたちです。

　　　　

量場的テンソルの共変テンソル表示の定義（ 第２の定義 ）：

　　

ここで、 成分の１つ１つを計算すると、 次のようになります。









同様にして、 次の式を得ることができます。



この式は、 量場的テンソルの共変テンソル表示の定義（ 第１の定義 ）です。





さて、 と置くことにします。 すると、 量場的テンソルの共変テンソル表示の定義（ 第２の定義 ）より、 次のようになります。



次に、 　と置くことにします。 すると、 次のようになります。






ここで、「 量場的テンソルの共変テンソル表示 」を「 双線形関数 」とみなします。 なぜならば、 量場的テンソルの持つ９個の成分はすべて質（ 方向 ）が異なるので、 互いに線形独立とみなすことができるからです。 すると次のようになります。



　 今までのことを逆に書くと、 次のようになります。 これは、 量場的テンソルの共変テンソル表示の定義（ 第２の定義 ）です。


　　　　
　　　
　　　　　　　　　　　　　　　




この式は、 量場的テンソルを「 双線形関数 」とみなしたものです。 もちろん量場的テンソルは関数ではありませんので、 あくまでも「 双線形関数 」とみなしただけです。 この式から、 量場的テンソルは、 という「 双線形関数 」を次の同じ２つのベクトル に作用させたものであることがわかります。

　　　

では、 任意の２つのベクトルの順列に を作用させれば 、一般的な量場的テンソルの共変テンソル表示が得られるのではないでしょうか？　そのとおりです。 次の反変ベクトル表示の２つのベクトルの順列に を作用させると、 共変テンソル表示の量場的テンソルができます。

　　　

ではやってみましょう。

　 次のような表現行列を持つ基底変換テンソル があります。



これによって、 次のように、 基底 が 基底 へ変換されるとします。

ここに、 次のような「 混合テンソル表示 」をされる「 量場的テンソル 」があります。



量場的テンソルの混合テンソル表示は、 量場的テンソルの基本です。 混合テンソル表示は「 演算テンソル 」と見なすことができますので、 量場的テンソルの混合テンソル表示の座標変換式は「 演算テンソル 」と同じ形式になります。 したがって、 次のように表されます。

　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

次に、 次の式が成り立っていることを確かめてみましょう。









したがって、 量場的テンソルの混合成分の座標変換式は次のようになることがわかります。

　 次のような表現行列を持つ基底変換テンソル があります。

基底変換テンソル によって、 基底 は 基底 へと変換されます。

この式から、 次の３つの式が成り立ちます。

これらの式は、 次の１行にまとめることができます。

基底 が生成するベクトル空間での量場的テンソルの共変テンソル表示 は、 次のように表されます。

ここで、

また、

同様にして、

ここで、 を、 次のような成分を用いて表すことにします。

すると、 量場的テンソルの共変テンソル表示の座標変換は、 次のように表されることがわかります。

　 これから、 次の式が成り立つことを証明します。

したがって、 次の式が成り立っていることがわかります。