（１） 二元数

　 実数や虚数は数です。 数は一次元です。 実数や虚数も一次元です。 一元には方向があります。プラスとマイナスの方向があります。
　 ガウスが考案した複素平面では、 実数と虚数が直交して二次元平面を作ります。 しかし、 私のイメージでは実数と虚数は直交するものではなく曲面の表と裏の関係ですので、 次のように考えた方がしっくりくるんじゃないかと思います。

まず、 実数を次のように表すことにします。
　　　　
次に、 複素数を次のように表すことにします。
　　　　

　を 「 実数基底 」 と言うことにします。
　を 「 虚数基底 」 と言うことにします。

　 こういう表現をされた実数のことを 「 一元数 」 と言い、 こういう表現をされた複素数のことを 「 二元数 」 と言いうことにします。 実際に、 「 一元数 」 や 「 二元数 」 という言い方はあります。

　※ 参照 ：　線形代数学 ＞ 正方行列のイメージ
　 　　　　　線形代数学 ＞ 複素数の行列による表現

行列式 ：
　　　　

基底どうしの掛け算 ：
　　　　

（２） 四元数への拡張

追加する実数基底 ：
　　　　
追加する虚数基底 ：
　　　　

行列式 ：
　　　　

基底どうしの掛け算 ：
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　

　 が関与する掛け算は、 すべて でない方の基底になります。 自分どうしの掛け算の場合、 以外は全てになります。 が関与しない掛け算にも法則性がありますので、 下の数字の並びを見ながら、 その法則性を見つけてください。

　　　　　　　　

　　　 に をかける場合、 つまり　　の場合は、
　　　 に をかける場合、 つまり　　の場合は、
　　　 に をかける場合、 つまり　　の場合は、
　　　 に をかける場合、 つまり　　の場合は、


四元数は次のように表されます。
　　　
したがって、
　 四元数は という２つの複素数の順序列でも表すことができます。



したがって、
　 の大きさは で表されます。

（３） 四元数の積 と ベクトルの内積・外積の起源

　

　
　
　

　

　 この式がベクトルの内積・外積の起源となりました。 その理由は、 四元数を用いてベクトルを表現して演算を行う時に登場してくるからです。

　　　　

　 というよりも、 四元数はベクトルの起源となったのです。 数学史からするとベクトルより複素平面や四元数のほうが先なのです。 ただし力学ではベクトルに近い概念が古くから確立していました。 ベクトルの四元数表現は、 物理学では Pauli のスピン行列 として登場してきます。