ばいおりんの慣性系相対性理論

　　　　　　　　　　　　　目　　　　次

　　（１）物質の移動についての座標変換
　　（２）物質の出来事についての座標変換（双子のパラドックス）
　　（３）物質の姿についての座標変換
　　（４）今日の特殊相対性理論に対する批判
　　（５）ニュートン力学的観察と相対論的観察を結ぶ固有時間不変の定理
　　（６）４次元時空間距離を不変にする座標変換
　　（７）ベクトルの座標変換で考える同時刻の相対性
　　（８）特殊相対性理論の守備範囲
　　（９）これまでのまとめ
　　（10）トンネルと列車のパラドックス
　　（11）ガリレイ変換とローレンツ変換とでの変換後の基底の比較
　　（12）逆ガリレイ変換とローレンツ収縮でローレンツ変換を作る
　　（13）方眼紙にローレンツ変換の図を作成してみよう
　　（14）時間の基底が虚数であることを忘れていませんか

　　　　　　※　ベクトルの表記法や［ＣＴ］や［ＢＴ］については、次の論文を参照してください。
　　　　　　　　　　　　大学生のための数学＞線形代数学＞位置ベクトルの座標変換

（１）物質の移動についての座標変換

　直交座標系から斜交座標系へのベクトルの座標変換の１例として、「ローレンツ変換」があります。今は、光の速さを

とする単位系で考えることにします。ある慣性系が他の慣性系に対して速さ

で等速直線運動しています。図-１を見てください。Ｅ，Ｃ，Ｄの空間を次のようにします。

Ｅ時空間座標系：　ローレンツ変換前の直交直線座標系

　　が生成するベクトル空間

Ｃ時空間座標系：　ローレンツ変換後の斜交直線座標系

　　が生成するベクトル空間

　　Ｅ時空間慣性系に対して、速さで等速直線運動している慣性系

　図 -１

ローレンツ変換の２つのモデルケースたち：

　　　Ｅ時空間座標系の中での物質Ｃと光の移動
　　　　　　　物質Ｃ　　（空間移動の速さ

；　時空間移動の方向　　）
　　　　　　　　光　　　（空間移動の速さ

；　時空間移動の方向　　）

　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　Ｃ時空間座標系の中での物質Ｃと光の移動
　　　　　　　物質Ｃ　　（空間移動の速さ

；　時空間移動の方向　　）
　　　　　　　　光　　　（空間移動の速さ

；　時空間移動の方向　　）

光の速さをとする単位系では、ローレンツ変換テンソル の表現行列は、次のように表されます。

したがって、

　物質Ｃの時空間移動についてのローレンツ変換

　静止している観察者（第１観察者）の座標系での物質Ｃの時空間移動（直交座標系）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　その観察者が観察する、物質Ｃに並走して移動している観察者（第０観察者）の座標系での物質Ｃの時空間移動（斜交座標系）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、

　第１観察者による、物質Ｃの時空間移動についての、第３者的な主観的観察
　　　　　　　（ただし、物質Ｃの速度は、当事者的な主観的観察になります。）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　第１観察者による、第０観察者の物質Ｃの時空間移動についての当事者的な主観的観察についての、当事者的な客観的観察
（つまり、第１観察者による、物質Ｃの時空間移動についての、当事者的な客観的観察）

　　　　＊　コメント
　　　　　　　当事者的な観察：　観察の対象となる物質が静止している。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ただし、速度については、移動している物質ではなくて、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　その基準になる物質が静止している場合は、当事者的な
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　観察になります。
　　　　　　　第３者的な観察：　観察の対象となる物質が移動している。
　　　　　　　主観的な観察　：　観察者が携帯している時計や物差しを使用する。
　　　　　　　客観的な観察　：　観察している物質が携帯している時計や物差しを使用する。

　物質Ｃの時空間移動についての 逆ローレンツ変換

　静止している観察者が観察する、物質Ｃに並走して移動している観察者の座標系での物質Ｃの時空間移動（斜交座標系）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　静止している観察者の座標系での物質Ｃの時空間移動（直交座標系）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　つまり、

　第１観察者による、第０観察者の物質Ｃの時空間移動についての当事者的な主観的観察についての、当事者的な客観的観察
（つまり、第１観察者による、物質Ｃの時空間移動についての、当事者的な客観的観察）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　第１観察者による、その物質の時空間移動についての、第３者的な主観的観察
　　　　　　　（ただし、物質Ｃの速度は、当事者的な主観的観察になります。）

さて、位置ベクトルがあり、それはＥ時空間では次のように表されるものとします。

位置ベクトルのＥ時空間における大きさはです。

位置ベクトルはＣ時空間では、次のように表されます。

位置ベクトルのＣ時空間での大きさを求めてみましょう。

以下の式が求める答えであるとしてはいけません。

なぜならば、それは、位置ベクトルのＣ時空間での表示をわざわざＥ時空間に移植してＥ時空間でその大きさを測定しているからです。

斜交座標系でのベクトルの大きさを求めるためには、次の式たちのどちらかを使用しなければなりません。

　どちらの式を用いるにしても「計量テンソル」が必要になります。その「計量テンソル」の求め方には、２通りあります。１番目の計量テンソルの求め方は、図-２の幾何学的方法です。

　図-２

したがって、座標変換後の斜交座標系の計量テンソルの表現行列は次のようになります。

２番目の計量テンソルの求め方は、計量テンソルの座標変換式を用いるものです。

ローレンツ変換前の時空間の計量テンソルの表現行列は単位行列です。ローレンツ変換後の時空間の計量テンソルの表現行列をとすると、次の式が成り立ちます。

さて、ここで注意しなければならないことがあります。それは、この場合の計量テンソルは、直交直線座標系の自然基底の要素たちの大きさをとする基準による計量テンソルになっているということです。そこで、これをローレンツ変換後の基底の要素たちの大きさをとする基準による計量テンソルに変換する必要があります。直交直線座標系の自然基底の要素たちの大きさをとする基準によると、次の式が成り立ちます。

　したがって、この場合の計量テンソルの表現行列を

倍してやる必要があります。したがって、ローレンツ変換後の基底の要素たちの大きさを

とする基準による計量テンソルは次のようになります。
　　　　

では、まず、次の式を用いて位置ベクトルのＣ時空間での大きさを求めてみましょう。

は、反変ベクトル表示を共変ベクトル表示に換える演算です。

次に、次の式を用いて位置ベクトルのＣ時空間での大きさを求めてみましょう。

ローレンツ変換に限らず一般の座標変換では、位置ベクトルの大きさの表現方法は変化するものの、それは基底の要素たちの大きさや向きが変化したために起きる現象であって、実質的な位置ベクトルの大きさは変化しません。それもそのはず、 ベクトル空間の座標変換とは、同一ベクトルの２つの異なるベクトル空間における表示形式の違いを見るものだからです。（この事実をとします。）

しかし、このことから「ローレンツ変換によって時間が収縮したり空間が伸展したりするというのは、単位の変化を忘れたことによる、間違いである。」という結論を導き出すことは間違っています。なぜなら、ローレンツ変換により、倍に伸びていた時間が元に縮む割合は倍であり、倍に縮んでいた空間が元に伸びる割合は倍であり、基底の要素たちが大きくなる割合は倍であり、基底の要素たちの大きさの変化率と時間の収縮率や空間の伸展率との積がにならないからです。